Найти частное решение дифференциального уравнения?

Elesem 25 авг. 2021 г., 12:28:28

Первый раз сталкиваюсь с таким заданием, но оно не особо сложное :

Для решения данного дифференциального уравнения потребуется такая вещь, как интегрирующий множительμ.

$(1-2xy)\frac{dy}{dx}=y(y-1)|*dx\\(1-2xy)dy=(y(y-1))dx\\(y(y-1))dx+(2xy-1)dy=0\\\frac{\delta P}{\delta y}=2y-1\\\frac{\delta Q}{\delta x}=2y$

Как видим, на полный дифференциал не тянет, вот тут нам и поможет множитель, только его надо сначала найти.

Суть множителя в том, что при умножении на него каждой из частей дифференциал будет полным, и соответственно решать его будем как полный.

$\frac{(\frac{\delta Q}{\delta x}-\frac{\delta P}{\delta y})}{P}=\frac{2y-2y+1}{y(y-1)}=\frac{1}{y(y-1)}\\\frac{d\mu}{dy\mu}=\frac{1}{y(y-1)}\\\frac{d\mu}{\mu}=\frac{dy}{y(y-1)}\\ln|\mu|=-ln|y|+ln|y-1|\\ln|\mu|=ln|\frac{y-1}{y}|\\\mu=\frac{y-1}{y}$

Умножаем на μ каждое из слагаемых и получаем :

$\frac{y-1}{y}(y(y-1))dx+\frac{y-1}{y}(2xy-1)dy=0\\(y-1)^2dx+(2x(y-1)+\frac{1-y}{y})dy=0\\\frac{\delta P'}{\delta y}=2 (y-1)\\\frac{\delta Q'}{\delta x}=2(y-1)$

Та - дам, вот и дифференциал полный, решаем его.

$\begin{cases}\frac{\delta F}{\delta x}=(y-1)^2\\\frac{\delta F}{\delta y}=(2x(y-1)+\frac{1-y}{y})\end{cases}\\F=\int(y-1)^2dx=x(y-1)^2+\phi(y)\\\frac{\delta F}{\delta y}=x(2(y-1))+\phi'(y)\\x(2(y-1))+\phi'(y)=2x(y-1)+\frac{1-y}{y}\\\phi'(y)=\frac{1-y}{y}\\\phi(y)=\int\frac{1-y}{y}dy=ln|y|-y+C\\F=x(y-1)^2+ln|y|-y+C=0\\x(y-1)^2+ln|y|-y=C$

Проверка :

$(x(y-1)^2+ln|y|-y)'=C'\\(y-1)^2+(2x(y-1))y'+\frac{y'}{y}-y'=0\\(y-1)^2+(2x(y-1)+\frac{1}{y}-1)y'=0\\(y-1)^2+(2x(y-1)+\frac{1-y}{y})y'=0$

Получен изначальный дифференциал, значится ответ верный, подставляем начальные условия

$0(1-1)^2+ln|1|-1=C\\C=-1\\OTBET:x(y-1)^2+ln|y|-y=-1$.

Маринка951 23 янв. 2021 г., 09:28:57 | 10 - 11 классы

Найдите частное решение дифференциального уравнения?

Найдите частное решение дифференциального уравнения.

Доминик12345 14 апр. 2021 г., 12:05:51 | студенческий

Найти общее решение дифференциального уравнения?

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Yarikkalinina 13 нояб. 2021 г., 10:13:15 | студенческий

1. найти частное решение дифференциального уравнения2xy' = 1 + x ^ 2 ; y(2) = 42?

1. найти частное решение дифференциального уравнения

2xy' = 1 + x ^ 2 ; y(2) = 4

2.

Найти общее решение дифференциального уравнения

y' + 3xy = e ^ x

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ПОЖАЛУЙСТА.

Zkd1407 12 сент. 2021 г., 06:55:26 | 10 - 11 классы

Найти частное решение дифференциального уравнения :ydx + ctgxdy = 0, y = - 1, x = π / 3?

Найти частное решение дифференциального уравнения :

ydx + ctgxdy = 0, y = - 1, x = π / 3.

Миша09012003 4 нояб. 2021 г., 21:43:17 | 10 - 11 классы

Найти частное решение дифференциального уравнения y' + 2y + 2 = 0 если y = 5 при x = 0?

Найти частное решение дифференциального уравнения y' + 2y + 2 = 0 если y = 5 при x = 0.

Iceman15379 2 июн. 2021 г., 09:55:27 | студенческий

Найти частное решение дифференциального уравнения у" + 7у' + 6у = 0 у(0) = 1 ; у'(0) = 2?

Найти частное решение дифференциального уравнения у" + 7у' + 6у = 0 у(0) = 1 ; у'(0) = 2.

Мария20022 3 нояб. 2021 г., 22:00:48 | 10 - 11 классы

НАЙТИ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ?

НАЙТИ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ.

Ler12ret 25 окт. 2021 г., 02:34:19 | 10 - 11 классы

Пожалуйста решите, лучший ответ + баллыНайти частное решение дифференциальных уравнений?

Пожалуйста решите, лучший ответ + баллы

Найти частное решение дифференциальных уравнений.

Dpipidon22 30 дек. 2021 г., 22:51:04 | студенческий

Найти общее решение дифференциального уравнения?

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Петровв 28 сент. 2021 г., 21:19:38 | студенческий

Найти и общее и частное решение дифференциального уравнения (2x + 1)y' + y = 0?

Найти и общее и частное решение дифференциального уравнения (2x + 1)y' + y = 0.