НАЙТИ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ?

Фунчик 3 нояб. 2021 г., 22:00:52

$y^2+x^2y'=xyy'\\\lambda^2y^2+\lambda^2x^2y'=\lambda^2xyy'\\\lambda^2(y^2+x^2y')=\lambda^2xyy'\\y^2+x^2y'=xyy'$

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка

$y^2+x^2y'=xyy'\\y=tx=\ \textgreater \ t=\frac{y}{x}\ ;y'=t'x+t\\t^2x^2+x^2(t'x+t)=x^2t(t'x+t)\\t^2x^2+x^3t'+x^2t=x^3tt'+x^2t^2\\x^3t'+x^2t=x^3tt'|:x^2\\xt'+t=xtt'\\t=\frac{xdt(t-1)}{dx}|*\frac{dx}{xt}\\\frac{dx}{x}=\frac{(t-1)dt}{t}\\\int\frac{dx}{x}=\int\frac{(t-1)dt}{t}\\\int\frac{dx}{x}=\int dt-\int\frac{dt}{t}\\ln|x|=t-ln|t|+C\\ln|x*t|=t+C\\ln|y|=\frac{y}{x}+C\\ln|y|-\frac{y}{x}=C$

Проверим правильность ответа, вешаем производные на решение

$(ln|y|-\frac{y}{x})'=C'\\\frac{y'}{y}-\frac{y'x-y}{x^2}=0\\\frac{y'}{y}=\frac{y'x-y}{x^2}\\x^2y'=xyy'-y^2\\y^2+x^2y'=xyy'$

Получено исходное задание, а значится ответ правильный.

Natusik56 24 мая 2021 г., 05:22:35 | 5 - 9 классы

Найти общее решение дифференциального уравнения 2 - го порядка?

Найти общее решение дифференциального уравнения 2 - го порядка.

DashaKuzmina 31 мая 2021 г., 05:35:37 | 10 - 11 классы

Найти общее решение дифференциального уравнения y' = e ^ - y - 1?

Найти общее решение дифференциального уравнения y' = e ^ - y - 1.

Passiveobserve 1 июн. 2021 г., 01:58:48 | 5 - 9 классы

Найти общее решение дифференциального уравнения 1 - го порядка?

Найти общее решение дифференциального уравнения 1 - го порядка.

Доминик12345 14 апр. 2021 г., 12:05:51 | студенческий

Найти общее решение дифференциального уравнения?

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Mariyam22 21 дек. 2021 г., 15:04:21 | студенческий

1. Найти общее решение дифференциального уравнения?

1. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Y''' - 7y" + 15y' - 9y = (8x - 12) * e ^ x

2.

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

Vladon413 20 мар. 2021 г., 21:20:30 | студенческий

Найти общее решение системы дифференциального уравнения?

Найти общее решение системы дифференциального уравнения.

9999999999999999108 8 авг. 2021 г., 03:28:47 | студенческий

Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения?

Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения.

Dpipidon22 30 дек. 2021 г., 22:51:04 | студенческий

Найти общее решение дифференциального уравнения?

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Alenagladilina 13 авг. 2021 г., 19:11:31 | студенческий

Найти общее решение дифференциального уравнения?

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Dollarmisha 10 сент. 2021 г., 12:12:00 | студенческий

Найти общее решение дифференциального уравнения?

Найти общее решение дифференциального уравнения.