Помогите, пожалуйста, решить задание?

Ириna2005 3 июл. 2021 г., 00:59:04

Для нахождения интервалов монотонности (т.

Е. возрастания и убывания) и точек экстремума нам нужна первая производная, а для интервалов выпуклости и вогнутости и координат точек перегиба - вторая производная.

$y = -x^3+9x^2-24x+21$

$y' = -3x^2+18x-24$

$y'' = -6x+18$

Приравниваем первую производную к нулю, решаем получившееся уравнение и тем самым находим абсциссы критических точек :

$-3x^2+18x-24=0 \\ x^2-6x+8=0 \\ D/4=9-8=1 \\ x=3б1 \\ x_1=2 \\ x_2=4$

Чертим числовую ось, отмечаем на ней точки 2 и 4 и исследуем поведение производной на получившихся интервалах :

подставляем в нее значение х меньше 2 (например, 0) :

$y'(0)=-3*0^2+18*0-24=-24$

Получили отрицательное значение производной на участке левее 2 (ставим там минус).

Дальше подставляем в производную х между 2 и 4 (например, 3) :

$-3*3^2+18*3-24=-27+54-24=3$

Полученное значение больше нуля.

Ставим над координатной прямой на участке между 2 и 4 плюс.

Проверяем участок правее 4.

Подставляем в уравнение производной число больше 4 (например, 10) :

$-3*10^2+18*10-24=-300+180-24=-144$

Получено отрицательное значение производной.

Правее 4 ставим минус.

Получается, что анализируемая функция убывает на участке ( - ∞ ; 2) - ставим стрелочку вниз ; возрастает на участке (2 ; 4) - ставим стрелочку вверх ; убывает на участке (4 ; + ∞) - ставим снова стрелочку вниз.

Итак, точка 2 - это минимум функции, а точка 4 - ее максимум.

Можем вычислить значение функции в этих точках (точках экстремума) :

$y_{min}= y(2)=-2^3+9*2^2-24*2+21= \\ =-9+36-48+21=0 \\ \\ y_{max}= y(4)=-4^3+9*4^2-24*4+21= \\ =-64+144-96+21=5$

Теперь начинаем аналогичную работу со второй производной : приравниваем ее к нулю, решаем уравнение, полученные значения отмечаем на новой координатной прямой - это предполагаемые точки перегиба.

Если в этих точках знак второй производной меняется (с плюса на минус или наоборот - с минуса на плюс), то это действительно точки перегиба.

Если вторая пр - я на участке отрицательна, то график функции на этом участке выпуклый, если положительна - то вогнутый.

Начнем :

$-6x+18=0 \\ x-3=0 \\ x=3$

Подставим в формулу второй производной сначала число, меньшее 3, потом - большее.

Пусть это будут числа 0 и 5 :

$y''(0)=-6*0+18=18\ \textgreater \ 0 \\ y''(5)=-6*5+18=-12\ \textless \ 0$

Т.

Е. точка 3 действительно оказалась точкой перегиба : левее нее график функции вогнутый, правее - выпуклый.

Значение функции в этой точке равно

[img = 10]

Всё.

Конец.

Asya2003 8 мар. 2021 г., 01:57:52 | 10 - 11 классы

График функции y = (x ^ 2 + 8x + 16) / (x + 3)Найти интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремумы функции?

График функции y = (x ^ 2 + 8x + 16) / (x + 3)

Найти интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремумы функции.

Pegas10 6 янв. 2021 г., 17:21:15 | 10 - 11 классы

Исследовать функцию y = (5 - х2) / (х2 + 5) : 1) найти область определения функции 2)исследовать функцию на непрерывность 3)определить, является ли данная функция четной, нечетной 4) найти интервалы в?

Исследовать функцию y = (5 - х2) / (х2 + 5) : 1) найти область определения функции 2)исследовать функцию на непрерывность 3)определить, является ли данная функция четной, нечетной 4) найти интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума 5) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба 6) найти асимптоты графика функции.

Помогите пожалуйста).

Смайлик2281 11 июл. 2021 г., 05:18:45 | 10 - 11 классы

Помогите пожалуйста?

Помогите пожалуйста!

Исследовать функцию y = (2) / (1 + x ^ 2) по следующей схеме : 1) Найдите область определения функции 2)Исследовать функцию на непрерывность 3) Определить, является ли данная функция четной, нечетной.

4) найти интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума 5) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба 6) найти асимптоты графика функции.

Сезиса 31 мая 2021 г., 10:33:21 | 10 - 11 классы

Y = x в кубе + 6х в квадрате + 9хнайти интервалы возрастания, убывания и экстремумыинтервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба?

Y = x в кубе + 6х в квадрате + 9х

найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы

интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Var16 28 янв. 2021 г., 05:33:03 | 10 - 11 классы

Помогите пожалуйста?

Помогите пожалуйста!

3. Для функции y = 2x(в кубе) + 6x(квадрат) - 5 определить :

a.

Точки экстремума и интервалы монотонности ;

b.

Точки перегиба и интервалы выпуклости.

1234663 30 окт. 2021 г., 17:56:32 | студенческий

Помогите пожалуйста решить вот это y = x ^ 4 - 6x ^ 2 + 9 (здесь надо найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции)))?

Помогите пожалуйста решить вот это y = x ^ 4 - 6x ^ 2 + 9 (здесь надо найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции))).

Meder6639 2 июл. 2021 г., 08:57:24 | студенческий

Помогите найти интервалы возрастания, убывания функций, точки экстремума и схематично построить ее график y = x3 / 3 - 4x?

Помогите найти интервалы возрастания, убывания функций, точки экстремума и схематично построить ее график y = x3 / 3 - 4x.

Katyushkakolom 14 авг. 2021 г., 01:12:20 | студенческий

Найти интервалы возрастания и убывания от производной(точки экстремумы)x ^ 2 - 2 * xНайти точки перегиба(выпуклость / вогнутость) - 4x + 2 = 0?

Найти интервалы возрастания и убывания от производной(точки экстремумы)

x ^ 2 - 2 * x

Найти точки перегиба(выпуклость / вогнутость) - 4x + 2 = 0.

Коля8 20 июл. 2021 г., 23:59:38 | 5 - 9 классы

В задание исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графику?

В задание исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графику.

Исследование функции рекомендуется проводить по следующей схеме :

1) Найти область определения функции ;

2) Исследовать функцию на непрерывность ;

3) Определить, является ли данная функция четной, нечетной ;

4) Найти интервалы возрастания и убывания функции и точки ее экстремума ;

5) Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции ;

6) Найти асимптоты графика функции.

Y = 2e⁻ˣ².

Elenamacutina 21 июн. 2021 г., 17:54:41 | студенческий

Найти интервалы возрастания, убывания и точки экстремума функции у = х ^ 3 / (3 - х ^ 2)?

Найти интервалы возрастания, убывания и точки экстремума функции у = х ^ 3 / (3 - х ^ 2).