Найти общее решение неоднородного ОДУ с постоянными коэффициентами второго порядка методом вариации произвольной постоянной?

Beloshapovd 18 июл. 2021 г., 17:07:47

Неоднородное уравнение 2 порядка

Сначала решаем однородное

y'' - 2y' + y = 0

Характеристическое уравнение

k ^ 2 - 2k + 1 = (k - 1) ^ 2 = 0

k1 = k2 = 1

Общее решение однородного уравнения

y = (C1 + C2 * x) * e ^ x = C1 * e ^ x + C2 * x * e ^ x

Теперь находим частное решение неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных.

Y0 = C1(x) * e ^ x + C2(x) * x * e ^ x = C1(x) * y1 + C2(x) * y2

Обозначим C1 и C2как функции C1(x) и C2(x).

Решаем систему

{ C1'(x) * y1 + C2'(x) * y2 = 0

{ C1'(x) * (y1)' + C2'(x) * (y2)' = e ^ x / x

В нашем случае

(y1)' = (e ^ x)' = e ^ x ; (y2)' = (x * e ^ x)' = e ^ x + x * e ^ x = e ^ x * (x + 1)

{ C1'(x) * e ^ x + C2'(x) * e ^ x * x = 0

{ C1'(x) * e ^ x + C2'(x) * e ^ x * (x + 1) = e ^ x / x

Подставляем 1 уравнение во 2 уравнение

{ C1'(x) = - C2'(x) * e ^ x * x / e ^ x = - C2'(x) * x

{ - C2'(x) * x * e ^ x + C2'(x) * e ^ x * (x + 1) = e ^ x / x

C2'(x) * ( - x * e ^ x + x * e ^ x + e ^ x) = e ^ x / x

C2'(x) * e ^ x = e ^ x / x

C2'(x) = 1 / x ; C2(x) = ln |x|

C1'(x) = - C2'(x) * x = - 1 / x * x = - 1 ; C1(x) = - x

Подставляем в уравнение

y = (C1 + C2 * x) * e ^ x = ( - x + x * ln |x|) * e ^ x.

Natusik56 24 мая 2021 г., 05:22:35 | 5 - 9 классы

Найти общее решение дифференциального уравнения 2 - го порядка?

Найти общее решение дифференциального уравнения 2 - го порядка.

Passiveobserve 1 июн. 2021 г., 01:58:48 | 5 - 9 классы

Найти общее решение дифференциального уравнения 1 - го порядка?

Найти общее решение дифференциального уравнения 1 - го порядка.

Stescha11 27 февр. 2021 г., 21:42:42 | 5 - 9 классы

Записать общий вид частного решения для линейного неоднородного ду?

Записать общий вид частного решения для линейного неоднородного ду.

Емануил 29 авг. 2021 г., 06:18:43 | 5 - 9 классы

Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных?

Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных.

Iker678 5 дек. 2021 г., 05:31:08 | 5 - 9 классы

Как расположен в системе координат график постоянной функции y = b, где b произвольное число?

Как расположен в системе координат график постоянной функции y = b, где b произвольное число.

Mihailskiba 13 нояб. 2021 г., 19:46:35 | 10 - 11 классы

Найти общее решение однородного ОДУ с постоянными коэффициентами второго порядка?

Найти общее решение однородного ОДУ с постоянными коэффициентами второго порядка.

9999999999999999108 8 авг. 2021 г., 03:28:47 | студенческий

Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения?

Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения.

Dimasik12345678dima 19 июн. 2021 г., 01:53:51 | студенческий

1. Найти частное решение дифф?

1. Найти частное решение дифф.

Ур. второго порядка

2.

Найти общее решение линейного неоднородного диф.

Ур. 2 порядка с постоянными коэффициентами.

Anastasiyakozh1 4 июн. 2021 г., 14:24:23 | студенческий

8. А найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса?

8. А найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

DOFTIK 14 нояб. 2021 г., 10:42:41 | студенческий

Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Y` ` + 2y` + 10y = 0.