Найти предел с помощью второго замечательного предела?

Lina6Tora9Art 11 окт. 2021 г., 10:15:54

$\lim_{x \to \infty} ( \frac{7x-1+4}{7x-1} )^{2x} =\lim_{x \to \infty} (1+ \frac{4}{7x-1} )^{2x} =\\ =\lim_{x \to \infty} ((1+ \frac{4}{7x-1} )^{ \frac{7x-1}{4} })^{2x* \frac{4}{7x-1} } =\\ = \lim_{x \to \infty} e^{ \frac{8x}{7x-1} }=e^{ \frac{8}{7} }$

Ответ : $e^{ \frac{8}{7} }$.

Асия86 11 окт. 2021 г., 10:15:56

Для всех x в области определения, выполняется :

$\displaystyle \left( \frac{7x+3}{7x-1} \right)^{2x}=\left( \frac{7x-1+4}{7x-1}\right)^{2x}= \left (1+\frac{4}{7x-1}\right)^{2x} =\\\\=\left (\left (1+\frac{4}{7x-1}\right)^{7x-1}\right)^{ \frac{2x}{7x-1} }$

Теперь по отдельности находим предел выражения и степени :

1.

Через замену$y=7x-1$ получаем :

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left (1+\frac{4}{7x-1}\right)^{7x-1} =\lim_{y \to \infty} \left (1+\frac{4}{y}\right)^{y}=e^4$

(следствие из второго замечательного предела)

2.

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{7x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{7- \frac{1}{x} } = \frac{2}{7}$

Следовательно :

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left (\left (1+\frac{4}{7x-1}\right)^{7x-1}\right)^{ \frac{2x}{7x-1} }=(e^4)^{2/7}=e^{8/7}$.

Akhmedovv 10 янв. 2021 г., 11:19:22 | 10 - 11 классы

Как можно вычислить первый замечательный предел?

Как можно вычислить первый замечательный предел?

Кажется можно tg5x перевести в синус, а далее я запутался : (.

Aleeks1999 15 янв. 2021 г., 05:48:47 | 10 - 11 классы

Вычисление пределов?

Вычисление пределов.

Второй замечательный предел.

Lol13371337228 20 апр. 2021 г., 04:25:03 | 10 - 11 классы

Найти предел функции, используя замечательный пределlim - - >∞(2x / 1 + 2x) ^ - 4x?

Найти предел функции, используя замечательный предел

lim - - >∞(2x / 1 + 2x) ^ - 4x.

Aargh 1 янв. 2021 г., 04:45:02 | 10 - 11 классы

Найти предел функции?

Найти предел функции.

Monakova200423 26 июл. 2021 г., 20:38:19 | 10 - 11 классы

Решить второй предел?

Решить второй предел.

Xalexa1981 1 авг. 2021 г., 12:43:22 | 5 - 9 классы

Решить с помощью первого и второго замечательного предела?

Решить с помощью первого и второго замечательного предела.

AlesssaMeow 5 апр. 2021 г., 11:24:56 | 10 - 11 классы

Помогите решить?

Помогите решить.

Используя первый и второй замечательные пределы.

56209 14 окт. 2021 г., 19:35:01 | 10 - 11 классы

Помогите пожалуйста со вторым замечательным пределом, очень нужно?

Помогите пожалуйста со вторым замечательным пределом, очень нужно!

Спасибо большое за ранее!

Кристя12344 12 июл. 2021 г., 00:12:24 | студенческий

Решить методом замечательных пределов?

Решить методом замечательных пределов.

Aleksandrgurkin 7 сент. 2021 г., 05:25:34 | студенческий

Найти пределы функции с помощу правила Лопитая?

Найти пределы функции с помощу правила Лопитая.