Необходимо доказать методом математической индукции?

Emelika 11 янв. 2022 г., 02:44:59

Принцип математической индукции прост :

1)Сначала докажем, что это равенство верно при n = 1.

Для этого подставим в левую и правую часть n = 1.

При этом, как нетрудно понять, слева будет лишь одно слагаемое.

$\frac{1 * 2^{1} }{(1+2)!} = 1 - \frac{ 2^{1+1} }{(1+2)!} \\ \frac{2}{3!} =1 - \frac{4}{3!} \\ \frac{2}{6} = \frac{6 - 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ - это, разумеется, верно.

Равенство при n = 1 доказано.

2)Доказываем индукционный переход.

А именно, пусть равенство верно при каком - то $n = k$.

Из данного предположения надо вывести, что равенство верно и для $n = k+1$.

Чтобы это сделать, распишем данное равенство при $n = k+1$.

При этом для большей наглядности не буду писать знак суммирования, а запишу ряд развёрнуто, не забыв записать и слагаемое, получающееся и при n = k.

$\frac{1}{3} + ... + \frac{k * 2^{k} }{(k+2)!} + \frac{(k+1) 2^{k+1} }{(k+3)!} = 1 - \frac{ 2^{k+1+1} }{(k+3)!}$

То есть, надо доказать справедливость вот такого равенства.

Теперь вспоминаем, что у нас есть верное при n = k равенство, и первые k слагаемых заменяем на его сумму при n = k.

Последнее слагаемое переписываем.

После чего приводим всё к одному знаменателю и делаем другие преобразования :

$1 - \frac{ 2^{k+1} }{(k+2)!} + \frac{(k+1) 2^{k+1} }{(k+3)!} = 1 + \frac{(k+1) 2^{k+1} }{(k+2)!(k+3)} - \frac{ 2^{k+1} }{(k+2)!} = \\ 1 + \frac{(k+1) 2^{k+1}-(k+3) 2^{k+1} }{(k+3)!} = 1 + \frac{ 2^{k+1} (k + 1 - k - 3)}{(k+3)!} =$$1 + \frac{(-2) 2^{k+1} }{(k+3)!} = 1 - \frac{2 * 2^{k+1} }{(k+3)!} = 1 - \frac{ 2^{k+1+1} }{(k+3)!}$

Итак, мы доказали, что если при некотором натуральном n = k равенство верно, то оно же верно и при n = k + 1.

Согласно методу математической индукции равенство доказано.

LinkaSi 28 янв. 2022 г., 22:38:13 | 10 - 11 классы

Метод математической индукции, 2 вариант, 1 задание?

Метод математической индукции, 2 вариант, 1 задание.

Vifdisxxx 19 февр. 2022 г., 06:48:37 | студенческий

Помогите пожалуйста решить методом мат индукции?

Помогите пожалуйста решить методом мат индукции.

Lamergamer 4 февр. 2022 г., 22:55:30 | 5 - 9 классы

Докажите, что число из 3 ^ n одинаковых цифр делится на 3 ^ n?

Докажите, что число из 3 ^ n одинаковых цифр делится на 3 ^ n.

Методом математической индукции.

Lemon2112 5 янв. 2022 г., 18:39:20 | студенческий

Доказать методом математической индукции :[tex]C ^ {1}_{n} + 2C ^ {2}_{n} + 3C ^ {3}_{n} + ?

Доказать методом математической индукции :

[tex]C ^ {1}_{n} + 2C ^ {2}_{n} + 3C ^ {3}_{n} + .

+ nC ^ {n}_{n} = n * 2 ^ {n - 1}[ / tex].

Nguyenhaiyen646 25 февр. 2022 г., 06:01:38 | студенческий

Детально объясните эквивалентные переходы в уже готовом решении?

Детально объясните эквивалентные переходы в уже готовом решении.

Особенно интересуют последние 4 строчки решения, максимально подробно распишите.

Задание (доказать методом математической индукции) и решение на картинках ниже :

Niki08 9 апр. 2022 г., 20:54:51 | 10 - 11 классы

Помогите решить методом математической индукции?

Помогите решить методом математической индукции.

MYRMYRMYR173 23 мар. 2022 г., 19:49:39 | 10 - 11 классы

Решить матрицу, методом обратной матрицы, методом Крамера, методом Гаусса?

Решить матрицу, методом обратной матрицы, методом Крамера, методом Гаусса.

Макс2423 15 янв. 2022 г., 07:20:13 | студенческий

Найти определитель матричным методомМетодом КрамераМетод Гауса?

Найти определитель матричным методом

Методом Крамера

Метод Гауса.

Asanali2007 9 апр. 2022 г., 06:09:25 | 1 - 4 классы

Математический крассворд для 2класса?

Математический крассворд для 2класса.

Yuga111111 13 мар. 2022 г., 15:32:25 | 1 - 4 классы

Придумайте пожалуйста математический ребус?

Придумайте пожалуйста математический ребус!

Очень надо, но только математический!