Математика | 5 - 9 классы
Найти геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до вершин равностороннего треугольника равна квадрату периметра этого треугольника.
Периметр равностороннего треугольника равен периметру квадрату?
Периметр равностороннего треугольника равен периметру квадрату.
Чему равна сторона треугольника, если сторона квадрата равна 3 см?
Сумма периметров равностороннего треугольника и квадрата равна 21 см?
Сумма периметров равностороннего треугольника и квадрата равна 21 см.
Начерти квадрат сторона которого равна стороне треугольника.
Периметр равностороннего треугольника равен 30 см?
Периметр равностороннего треугольника равен 30 см.
Сторона квадрата равна стороне треугольника.
Найди периметр квадрата.
Сторона равностороннего треугольника 8 см?
Сторона равностороннего треугольника 8 см.
Найти площадь квадрата, периметер которого равен периметру этого треугольника.
Периметр квадрата равен периметру равностороннего треугольника?
Периметр квадрата равен периметру равностороннего треугольника.
Длина стороны квадрата равна 6 сантиметров.
Какова длина стороны треугольника.
Периметр квадрата равен периметру равностороннего треугольника?
Периметр квадрата равен периметру равностороннего треугольника.
Длина стороны квадрата равна 6 см.
Какова длина стороны треугольника.
Если разрезать шнур длиною 31 см и сделать квадрат и равносторонний треугольник ?
Если разрезать шнур длиною 31 см и сделать квадрат и равносторонний треугольник .
Сторона треугольника на 1см больше стороны квадрата.
Найти площадь квадрата и периметр треугольника.
Сторона равностороннего треугольника равна 12см?
Сторона равностороннего треугольника равна 12см.
Найти площать квадрата, периметр которого равен периметру этого треугольника.
Сторона равностороннего треугольника равна 4 см?
Сторона равностороннего треугольника равна 4 см.
Найди длину
стороны квадрата, периметр которого равен периметру
треугольника.
Сумма периметра равностороннего треугольника и квадрата равна 840 см?
Сумма периметра равностороннего треугольника и квадрата равна 840 см.
Чему равна сторона квадрата, если сторона треугольника равна стороне квадрата?
Найди периметр каждой фигуры.
Вы зашли на страницу вопроса Найти геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до вершин равностороннего треугольника равна квадрату периметра этого треугольника?, который относится к категории Математика. По уровню сложности вопрос соответствует учебной программе для учащихся 5 - 9 классов. В этой же категории вы найдете ответ и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют, создайте свой вариант запроса в верхней строке.
Раз надо найти ГМТ - а это какая - то линия - значит надо найти уравнение этой линии.
Координатный метод.
Имеем правильный треугольник АВС.
Пусть вершина А этого треугольника будет началом координат.
Дано : АМ² + ВМ² + СМ² = (3а)² = 9а², где а - сторона треугольника.
Пусть дана точка М(Х ; Y).
Тогда имеем :
Координаты вектора АМ{X - Xa ; Y - Ya}, модуль |AM| = √[(X - Xa)² + (Y - Ya)²].
Координаты вектора BМ{X - Xb ; Y - Yb}, модуль |BM| = √[(X - Xb)² + (Y - Yb)²].
Координаты вектора CМ{X - Xc ; Y - Yc}, модуль |CM| = √[(X - Xc)² + (Y - Yc)²].
Итак, (X - Xa)² + (Y - Ya)² + (X - Xb)² + (Y - Yb)² + (X - Xc)² + (Y - Yc)² = 9а².
Или
(X - 0)² + (Y - 0)² + (X - а / 2)² + (Y - (√3 / 2)а)² + (X - а)² + (Y - 0)² = 9а².
Раскроем скобки :
X² + Y² + X² - aX + a² / 4 + Y² - √3 * aY + (3 / 4)a² + X² - 2aX + a² + Y² = 9a².
3X² + 3Y² - 3aX + 2a² - √3 * aY = 9a².
X² + Y² - aX + (2 / 3)a² - (√3 / 3) * aY = 3a².
X² + Y² - aX - (√3 / 3) * aY = (7 / 3)a².
(X² - aX + (1 / 4)a²) + (Y² - (√3 / 3) * aY) - (1 / 4)a² = (7 / 3)a².
(X - (1 / 2)a)² + (Y² - (√3 / 3) * aY + (√3 / 6)² * a²) - (1 / 4)a² - (1 / 12)a² = (7 / 3)a².
(X - (1 / 2)a)² + (Y - (√3 / 6) * a) - (1 / 4)a² - (1 / 12)a² = (7 / 3)a².
(X - (1 / 2)a)² + (Y - (√3 / 6) * a)² = (1 / 4)a² + (1 / 12)a² + (7 / 3)a² = (8 / 3)a².
(X - (1 / 2)a)² + (Y - (√3 / 6) * a)² = (8 / 3)a².
То есть искомое ГМТ - это окружность с центром в точке О((1 / 2)a ; (√3 / 6)a) радиуса R = √((8 / 3)a²) = (2√2 / √3) * а.
Или R = (2√6 / 3)а.
Где а - сторона треугольника.
Ответ : искомое ГМТ является окружностью с центром О, совпадающим с центром данного нам треугольника и радиусом, равным R = (2√6 / 3)а.
Где а - сторона треугольника.
P. S.
Заметим, что найденная точка О((1 / 2)a ; (√3 / 6)a) лежит в центре треугольника, так как в правильном треугольнике высота равна h = (√3 / 2) * a и делится центром треугольника в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Значит центр треугольника лежит на расстоянии (1 / 3) * (√3 / 2) * a или (√3 / 6) * a.
А это координата Y точки О.
Таким образом, расположив начало координат изначально в центр треугольника, мы бы облегчили арифметику вычислений.