Математика | 10 - 11 классы
Сколько существует натуральных n, меньших 1031, таких что уравнение a ^ 2 + b ^ 2 = 3 ^ n имеет решение в целых числах?
Существуют натуральные числа которые не явлются целыми?
Существуют натуральные числа которые не явлются целыми.
Что вы заметили.
Ложно или Истина?
Ложно или Истина?
1) Любое натуральное число является рациональным?
2) Существуют отрицательные числа?
3) Все числа являются целым?
4) Существуют натуральные числа, которые не являются целыми?
ПОМОГИТЕ ПЖ).
Существует ли целое число меньше любого натурального числа?
Существует ли целое число меньше любого натурального числа.
1) Запишите какие - нибудь два натуральных числа, сумма которых равна 15?
1) Запишите какие - нибудь два натуральных числа, сумма которых равна 15.
Сколько всего существует таких пар чисел.
2) Запишите какие - нибудь два натуральных числа, разность которых равна 15.
Сколько всего существует таких пар чисел.
А)приведите пример трёхзначного числа, у которого ровно 5 натуральных делителей ; б)существует ли такое трёхзначное число, у которого ровно 15 натуральных делителей?
А)приведите пример трёхзначного числа, у которого ровно 5 натуральных делителей ; б)существует ли такое трёхзначное число, у которого ровно 15 натуральных делителей?
В)сколько существует таких трёхначных чисел, у которых ровно 20 натуральных делителей?
Сколько целых решений имеет неравенство модуль x меньше 50?
Сколько целых решений имеет неравенство модуль x меньше 50.
Сколько целых решений имеет неравенство х меньше 91 помогите?
Сколько целых решений имеет неравенство х меньше 91 помогите.
Сколько существует решений у натуральных числах уравнения x + y = 10?
Сколько существует решений у натуральных числах уравнения x + y = 10.
Сколько целых решений имеет неравенство модуль у меньше 72?
Сколько целых решений имеет неравенство модуль у меньше 72.
Сколько существует вариантов натуральных чисел, разность квадратов которых равна числу 2017?
Сколько существует вариантов натуральных чисел, разность квадратов которых равна числу 2017?
1. имеет одно решение
2.
Не имеет решений
3.
1008 вариантов решений.
Вы находитесь на странице вопроса Сколько существует натуральных n, меньших 1031, таких что уравнение a ^ 2 + b ^ 2 = 3 ^ n имеет решение в целых числах? из категории Математика. Уровень сложности вопроса рассчитан на учащихся 10 - 11 классов. На странице можно узнать правильный ответ, сверить его со своим вариантом и обсудить возможные версии с другими пользователями сайта посредством обратной связи. Если ответ вызывает сомнения или покажется вам неполным, для проверки найдите ответы на аналогичные вопросы по теме в этой же категории, или создайте новый вопрос, используя ключевые слова: введите вопрос в поисковую строку, нажав кнопку в верхней части страницы.
Ясно, что при n = 2k система имеет решение a = 3 ^ k, b = 0.
Покажем, что других решений нет.
Пусть ни одно из чисел a и b не делится на 3.
Покажем, что если число имеет остаток 1 или 2 при делении на 3, то квадрат этого числа имеет остаток 1 при делении на 3.
Действительно, пусть a = 3k + 1, тогда a² = 9k² + 6k + 1, если a = 3k + 2, то a² = 9k² + 18k + 4, в обоих случаях остаток равен 1.
Но сумма двух чисел с остатком 1 при делении на 3 не может нацело делиться на 3, получили противоречие.
Теперьрассмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел a и b делится на 3.
Если только одно число делится на 3, то сумма квадратов не будет делиться на 3, то есть, такой вариант невозможен.
Остается случай, когда на 3 делятся оба числа.
Пусть$a=3^xp^2, b=3^yq^2$, где p и q - натуральные числа, не делящиеся на 3.
Ясно, что x< ; n, y< ; n.
Если x = y, то, разделив обе части на$3^x$, получим уравнение$p^2+q^2=3^{n-x}$.
Поскольку числа p и q не делятся на 3, а величина n - x больше 0, это уравнение корней не имеет.
Наконец, рассмотрим случай, когда x≠y, в силу симметрии можно считать, что x< ; y.
Разделив уравнение на$3^x$, имеем$p^2+3^{y-x}q^2=3^{n-x}$.
Первое слагаемое не делится на 3, второе и третье делятся, получили противоречие.
Таким образом, уравнение имеет решение лишь при четных n.
Следовательно, оно имеет 515 решений, меньших 1031.