Математика | 10 - 11 классы
Сколько существует натуральных чисел n.
Не больших 10000, для которых 2 ^ n - n ^ 2 делится на 7.
Сколько существует натуральных чисел меньше 160 которые делятся на 2 но не делятся на 3?
Сколько существует натуральных чисел меньше 160 которые делятся на 2 но не делятся на 3.
Сколько существует натуральных чисел от 1 до 100 каждое из которых делится на 5 но не делится на 2 и в своей записи не имеет ни одной тройки?
Сколько существует натуральных чисел от 1 до 100 каждое из которых делится на 5 но не делится на 2 и в своей записи не имеет ни одной тройки.
Сколько существует натуральных чисел , которые делят число 257 с остатком 23?
Сколько существует натуральных чисел , которые делят число 257 с остатком 23?
Помогите?
Помогите!
Сколько существует натуральных чисел которые делят число 257 с остатком 23?
Сколько существует натуральных чисел, меньших 1000, которые не делятся ни на 5 ни на 7?
Сколько существует натуральных чисел, меньших 1000, которые не делятся ни на 5 ни на 7?
Сколько существует натуральных чисел, меньших тысячи, которые не делятся ни на 5, ни на 7?
Сколько существует натуральных чисел, меньших тысячи, которые не делятся ни на 5, ни на 7?
Сколько существует натуральных четных двузначных чисел которые делятся на число 13 без остатка?
Сколько существует натуральных четных двузначных чисел которые делятся на число 13 без остатка.
Сколько существует натуральных чисел, не больших, чем 99, которые не делятся ни на 2, ни на 3?
Сколько существует натуральных чисел, не больших, чем 99, которые не делятся ни на 2, ни на 3?
Сколько существует натуральных чисел , не превосходящих 200 , клторые делятся на 5, но не делятся?
Сколько существует натуральных чисел , не превосходящих 200 , клторые делятся на 5, но не делятся.
Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 200, которые делятся на 7, но не делятся на 12?
Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 200, которые делятся на 7, но не делятся на 12?
ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!
На этой странице вы найдете ответ на вопрос Сколько существует натуральных чисел n?. Вопрос соответствует категории Математика и уровню подготовки учащихся 10 - 11 классов классов. Если ответ полностью не удовлетворяет критериям поиска, ниже можно ознакомиться с вариантами ответов других посетителей страницы или обсудить с ними интересующую тему. Здесь также можно воспользоваться «умным поиском», который покажет аналогичные вопросы в этой категории. Если ни один из предложенных ответов не подходит, попробуйте самостоятельно сформулировать вопрос иначе, нажав кнопку вверху страницы.
Рассмотрим периодичность остатков от деления на 7 двух выражений : 2 ^ n и n ^ 2.
Для 2 ^ n :
При n = 1 : 2 ^ 1≡2(mod 7)
При n = 2 : 2 ^ 2≡4(mod 7)
При n = 3 : 2 ^ 3≡8≡1(mod 7)
При n = 4 : (2 ^ 3) * 2≡1 * 2≡2(mod 7) - начался новый период
Таким образом, длина периода равна 3.
Для n ^ 2 :
При n = 1 : 1 ^ 2≡1(mod 7)
При n = 2 : 2 ^ 2≡4(mod 7)
При n = 3 : 3 ^ 2≡9≡2(mod 7)
При n = 4 : 4 ^ 2≡16≡2(mod 7)
При n = 5 : 5 ^ 2≡25≡4(mod 7)
При n = 6 : 6 ^ 2≡36≡1(mod 7)
При n = 7 : 7 ^ 2≡0 ^ 2≡0(mod 7)
Если представить число n как 7k + a, где a - некоторое неотрицательное целое число из промежутка [0 ; 6], то (7k + a) ^ 2≡49k ^ 2 + 14ak + a ^ 2≡a ^ 2(mod 7).
Это значит, что число (7k + a) ^ 2 имеет такой же остаток от деления на 7, что и число a ^ 2.
Таким образом, при n = 8 остаток от деления на 7 будет таким же, каков и остаток от деления на 7 числа 1.
Для n = 9остаток такой же, как при n = 2.
Это значит, что длина периода остатков n ^ 2 на 7 равна 7.
Определим общую длину периода остатков от деления на 7 чисел2 ^ n и n ^ 2.
Это и будет как раз длиной периода остатков разности 2 ^ n - n ^ 2.
НОК(3, 7) = 21.
Это означает, что остаток от деления на 7 числа 2 ^ 1 - 1 ^ 2 совпадает с остатком от деления на 7 числа 2 ^ 22 - 22 ^ 2.
И т. д.
Зачем это все было расписано?
Число 2 ^ n - n ^ 2 делится нацелона 7, если остаток от деления на 7 этого выражения равен 0.
Суть в том, чтобы посчитать количество нулевых остатков внутри одного периода, длина которого 21, затем умножить это на количество периодов, а затем добавить число нулевых остатков у оставшегося неполного периода, чтобы добрать до 10000.
Итак, количество периодов равно [10000 / 21] = 476.
10000 - 476 * 21 = 4 - число остатков, которые надо будет добрать.
Рассмотрим полностью весь период остатков.
В первой колонке выпишем номера n, во второй колонке - остатки от деления на 7 выражения 2 ^ n, в третьейколонке - остатки от деления на 7 числа n ^ 2.
N. 2 ^ n.
N ^ 2
1.
2. 1
2.
4. 4
3.
1. 2
4.
2. 2
5.
4. 4
6.
1. 1
7.
2. 0
8.
4. 1
9.
1. 4
10.
2. 2
11.
4. 2
12.
1. 4
13.
2. 1
14.
4. 0
15.
1. 1
16.
2. 4
17.
4. 2
18.
1. 2
19.
2. 4
20.
4. 1
21.
1. 0
Среди этих остатков равными являются те, которые соответствуют таким n :
2, 4, 5, 6, 10, 15.
Таким образом, среди первых 9996 n количество чисел вида 2 ^ n - n ^ 2, делящихся нацело на 7, равно 476 * 6 = 2856.
N = 9997, 9998, 9999, 10000 соответствуют n = 1, 2, 3, 4.
Среди них равные остатки получаются при n = 2, 4.
То есть к итоговому результату надо прибавить 2.
В итоге получим 2856 + 2 = 2858.
Ответ : 2858.