Вычислить сумму?

Archimorchi 11 янв. 2020 г., 22:14:56

Покажите с помощью метода математической индукции, что $1 + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Из этого равенства и будет следовать ответ задачи, если их обеих частей вычесть 1.

Доказательство равенства проведём так :

1)Докажем базу индукции(справедливость равенства при n = 1).

Это очевидно, если подставить n = 1 в левую и правую часть.

2)Докажем индукционный переход.

Пусть это равенство верно при n = k.

Докажем, что оно верно и при n = k + 1(n, k - натуральные числа).

Из того, что равенство верно при n = k(по предположению индукции), следует, что

$1 + 2^{2} + ... + k^{2} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

Повторяю, это равенство верно, поскольку мы так предположили.

Если нам удастся доказать, что и при n = k + 1 равенство будет удовлетворяться, то мы докажем шаг индукции, следовательно, для любых n равенство будет верно.

Вот в этом и состоит идея метода математической индукции.

Теперь докажем равенство для n = k + 1.

Для этого к вышеуказанному равенству прибавим ещё один член(квадрат k + 1).

$1 + 2^{2} + ... + k^{2} + (k+1)^{2} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^{2}$

Здесь мы просто добавили к обеим частям равенства новый член.

Теперь преобразуем правую часть(всё к одному знаменателю, разложение на множители и прочее.

Dima73rus 29 июн. 2020 г., 06:08:57 | 5 - 9 классы

Вычислите сумму ( - 15) + ( - 40)?

Вычислите сумму ( - 15) + ( - 40).

Taras2203 16 февр. 2020 г., 21:29:27 | 5 - 9 классы

Вычисли следующие суммы ?

Вычисли следующие суммы :

МаriNka 12 сент. 2020 г., 07:46:50 | 5 - 9 классы

Вычислите сумму : 325 и 866?

Вычислите сумму : 325 и 866.

Dianalit1 17 нояб. 2020 г., 13:23:38 | 1 - 4 классы

Вычисли сумму чисел 3и2?

Вычисли сумму чисел 3и2.

Ushakovalosha 3 мар. 2020 г., 21:25:27 | 10 - 11 классы

Слагаемые 8и2?

Слагаемые 8и2.

Вычисли сумму.

Vera991 4 дек. 2020 г., 17:10:37 | 10 - 11 классы

Как вычислить одну треть из суммы?

Как вычислить одну треть из суммы?

Annarok01 19 янв. 2020 г., 02:49:46 | 1 - 4 классы

Вычисли значение суммы?

Вычисли значение суммы.

Evil17012 2 нояб. 2020 г., 22:38:20 | 1 - 4 классы

Вычисли суммы слагаемое?

Вычисли суммы слагаемое.

Kir1542 17 дек. 2020 г., 12:17:33 | 5 - 9 классы

Вычислите сумму ( + 48) + ( + 25) =?

Вычислите сумму ( + 48) + ( + 25) =.

Rrich526 26 окт. 2020 г., 00:04:14 | 1 - 4 классы

Запиши произведение 7×3 в виде суммы и вычисли значение этой суммы?

Запиши произведение 7×3 в виде суммы и вычисли значение этой суммы.